domingo, 2 de diciembre de 2012

Choques elásticos múltiples

Me comentan que este problema fue propuesto el día de hoy en un examen parcial en la CEPREUNI.
PROBLEMA
Cinco cuerpos se colocan sobre una línea recta tal que sus masas consecutivamente son m, m/2, m/4, m/8, m/16 respectivamente. Por la misma recta se mueve un cuerpo de masa 2m con velocidad 9/16 m/s y choca con el cuerpo de masa m. Después de los choques la velocidad que adquiere el cuerpo de masa m/16 es (en m/s). (Los choques son elásticos y no hay fricción con el piso).
Resolución
Como la razón entre las masas de los bloques de izquierda a derecha se encuentran en progresion geométrica de razón K = 1/2, y todos los choques son elasticos, es de esperar que la velocidad con que se mueve cada bloque despues del choque sea un porcentaje de la velocidad que tenia el cuerpo que lo empujó antes del choque.
Por otro lado, como los choques son elásticos, se cumple que la velocidad relativa de acercamiento antes del choque es igual a la velocidad relativa de alejamiento despues del choque.
En cada choque se cumplirá el principio de conservación de la cantidad de movimiento antes y que la velocidad relativa antes y despues del choque son iguales.
Teniendo en cuenta estos criterios, analizaremos el primer choque y luego generalizaremos estos resultados a los choques subsecuentes.
Se plantean las siguientes ecuaciones:
Resolviendo estas ecuaciones:
Según esto la velocidad del bloque 2 es igual al doble de la velocidad del bloque 1 entre 1 mas la razón de sus masas. Esta misma relación se puede usar para determinar las velocidades de los demas bloques:
Reemplazando datos en esta última ecuación deducimos que la rapidez del último bloque es de 2,37 m/s.
A primera vista puede parecer extraño que la velocidad del último bloque sea mayor que la del primero, pero es facilmente explicable ya que al ser la masa del bloque "chocado" menor que la del bloque "chocador" su velocidad del primero será mayor que la que tenía el segundo.

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