Preparándose para la Olimpiada de Física 2012

2da entrega de problemas de preparación del Club Richard Feynman, que dirige nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), con miras a la Olimpiada de Física del próximo año.

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AC/DC y el espíritu navideño de sus promotores

A todos los que les gusta el rock como yo, saben quien es AC/D: legendario grupo de rock metalero de los 70's que aún hoy se encuentra en actividad.

Cuentan que el nombre de esta banda lo sugirió la hermanita menor (Margaret) de los miembros fundadores del grupo, los hermanos de origen escocés Malcon y Angus Young. Ella había visto esta sigla en la parte trasera de su aspiradora, la clásica abreviatura de "alternating current/direct current" (corriente alterna/corriente continua) y según ella este nombre encajaba con la "electricidad del grupo". Antiguamente no era raro que los artefactos funcionasen con cualquiera de estos dos tipos de corrientes: corriente alterna(CA) y corriente continua(CC).

Pero la temática de nuestro blog no es la música, aunque esta forma parte de nuestra vida, así que hoy hablaremos de los orígenes de estos dos tipos de corriente y del célebre enfrentamiento que hubo por ellas entre Thomas Alva Edison, empresario y prolífico inventor norteamericano, y Nikola Tesla, inventor e ingeniero originario de una región de la Europa central (actual Croacia) y considerado por muchos como uno de los genios-inventores mas grandes del siglo XX.

Cuenta la historia que Tesla viajo de Francia, en donde trabajó en una de las compañías de Thomas Alva Edison, a los Estados Unidos con el objetivo de exponerle a Edison sus ideas acerca de su motor de inducción de corriente alterna, pero este lo contrató para que rediseñara sus ineficientes generadores de corriente continua y no para desarrollar sus ideas acerca de la corriente alterna. Resulta obvio que no llegaron a trabajar mucho tiempo juntos.

Empeñado Tesla en mostrar la superioridad de la CA sobre la CC de Edison se desarrolló lo que se conoce como "guerra de las corrientes". En 1893 se hizo en Chicago una exhibición pública de la corriente alterna, demostrando su superioridad sobre la corriente continua de Edison.

En esta guerra mediática, la electrocución de Topsy, un elefante de circo de cierto mal genio que ya estaba programado para la muerte, fue quizá el golpe más bajo en la campaña de Edison en contra de Tesla.

Lo que comenzó como una discusión sobre si la corriente alterna (CA) o la corriente continua (CC) podría ser más práctico atender las necesidades energéticas del país, por la década de 1890, se convirtió en una guerra de acusaciones, con Edison argumentando que la corriente alterna era peligrosa ya que podría electrocutar personas.

Al final, CA de Tesla sistema ganó, no porque era mejor para electrocutar a alguien, sino que esta clase de corriente era más fácil de transmitir y más fácil de convertir a diferentes voltajes.

La biografía de Nikola Tesla, y su áspera relación con Thomas Alva Edison, es muy interesante desde el punto de vista histórico, pero los dejo con una animación acorde con el espíritu navideño que nos envuelve en estos días, en la que Tesla y Edison se pelean por encender las luces del árbol de navidad de Rockefeller Center, pero al final se dan la mano (en la vida real nunca sucedio esto).

Desde este humilde blog les deseamos que pasen una ¡feliz navidad!

El secreto de Tesla

Sin lugar a dudas, Tesla fue un personaje enigmático, excéntrico (nunca daba la mano) y dueño de una imaginación magnífica.

Al igual que otras mentes brillantes que tienden a realizar grandes cálculos e invenciones en su cabeza, Tesla se vio presa de un desorden obsesivo-compulsivo en la última parte de su vida. Vivia obsesionado con su trabajo y dormía muy poco, lo cuál eventualmente lo llevó al agotamiento y a desarrollar las enfermedades psicosomáticas y neurosis obsesivas.

Es importante subrayar el episodio en el que Tesla, habiendo conseguido una patente sobre los generadores de corriente alterna que le daría millones de dólares decide romper el contrato que lo beneficiaba con US$1 por cada generador CA y con esto ayudar a George Westinghouse, cuya compañía (Westinghouse Electric) estaba cerca de declararse en bancarrota.

A continuación la película El secreto de Tesla (1980), que trata acerca de la vida de este genio olvidado y su relación con Thomas Alva Edison, George Westinghouse y J.P Morgan, con subtítulos en español.

Problema que aparentemente faltan datos

En un post anterior, resalté un problema propuesto por Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), en donde aparentemente faltaban datos, aunque él recalcaba una y otra vez que no era así.

Todos nosotros aprendemos durante muestra vida algoritmos para resolver diferentes tipos de problemas, es decir aprendemos modelos de resolución de problemas concretos. Pero si por alguna razón un determinado problema no encaja en ninguno de estos algoritmos, solemos pensar que se requiere información adicional para resolverlo (problema de suficiencia de datos).

Por ejemplo, para resolver un problema de equilibrio, uno de los algoritmos de resolución es el siguiente:

Primero, realizar el diagrama de cuerpo libre (DCL) del cuerpo o del sistema que se encuentra en equilibrio.

Segundo, construir un polígono cerrado de fuerzas, con las fuerzas que han sido identificadas en el paso anterior.

Tercero, resolver el poligono, esto es determinar una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en equilibrio, asumiento que todas las demás son conocidas.

Estos pasos son conocidos por todo aquel que tiene nociones de Estática, pero todos estamos acostumbrados a que nos den los datos y encontrar la incognita en un problema. No estamos acostumbrados a encontrar los datos a partir de un gráfico, y el problema en mensión es de este tipo.

La gran mayoría a tratado de resolver este probelma matemáticamente, y algunos hasta han tratado de encontrar la ¡ecuación de la catenaria!, cuando la resolución es realmente simple si hacemos uso del gráfico, suponiendo claro está que este también es una fuente de información.

El extremo de una cuerda fija a una pared vertical y el otro extremo es jalado por una fuerza horizontal de 20 N. La forma de la cuerda flexible es como se muestra en la figura. Hallar su masa. No faltan datos.

RESOLUCION

Resulta obvio que sobre la cuerda solo actúan tres fuerzas: la fuerza horizontal mencionada, la fuerza de gravedad F_g y la tensión T en su extremo superior, que tiene una dirección tangente a la curva en ese punto.

Hagamos el DCL de la cuerda, teniendo presente que las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser concurrentes, y construyamos el polígono cerrado de fuerzas, que es un triángulo vectorial en este caso.

Para determinar el ángulo θ, que forma la tension T con la vertical, asumimos que el gráfico se encuentra construido a escala y usamos un transportador. Asumiendo un margen de error, vemos que el ángulo θ es aproximadamente 25^o.

Finalmente, por trigonometría se concluye que F_g = 20 ctg 25^o = 42,9 N y por tanto su masa será 4,38 kg.

Olimpiada de Física: Trilce a la caza de talentos

El día de ayer domingo 12 se efectuó en la academia Trilce un examen de evaluación a todos aquellos alumnos que, estando aún en el colegio, destacan en Física y deseen representar a nuestro país en la XVII Olimpiada Iberoamericana de Física a realizarse del 17 al 22 Septiembre de 2012 en Granada, España.

Como recordarán, en esta olimpiada internacional cada país iberoamericano tiene derecho a estar representado por un equipo de hasta cuatro estudiantes (no-universitarios) que sean menores de 18 años y que no hayan participado anteriormente en eventos de este tipo.

Me comenta Max Soto, que junto con Hugo Luyo son los mas entusiastas en estos menesteres, que la academia Trilce va a apoyar a los que resulten preseleccionados con asesorias especiales para enfrentar airosamente esta competencia.

Ver evaluación

2da gran unificación de la física: Ecuaciones de Maxwell

Lo que actualmente conocemos como ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos en un solo cuerpo conceptual unificado denominado teoría electromagnética clásica.

La gran contribución del físico escocés James Clerk Maxwell (1831 - 1879) fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifestaciones del campo electromagnético. Desde ese momento, todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieron en casos simplificados de estas ecuaciones. Su trabajo sobre electromagnetismo ha sido llamado la "segunda gran unificación en física",después de la primera llevada a cabo por Isaac Newton.

Pero las ecuaciones de Maxwell no tenían inicialmente la forma vectorial y elegante de 4 ecuaciones que tienen ahora. Un físico actual encontraría dificultades a la hora de reconocer las 20 ecuaciones que Maxwell propuso inicialmente.

El gran genio que revolucionó el electromagnetismo fue Oliver Heaviside que reescribió las ecuaciones de Maxwell en su forma actual.

Pero, ¿sabías que porqué pasaron 23 años que se aceptara la teoría del electromagnetismo de Maxwell?

Leer artículo: Via francisthemulenews

Si deseas aprender mas sobre esto, y no le tienes miedo a las matemáticas, haz clic en este link.

Problemas físicos imposibles

Existen ciertos problemas que por la concepción errónea del problema NO tienen solución, debido a que analizando físicamente el problema se llega a una contradicción con una de las condiciones del problema o no se cumple alguna de estas.

Hace unos días mi colega y amigo Walter Chancafe del Colegio y Academias Saco Oliveros me comentó un problema que había sido propuesto en su academia del ciclo semestral y que según él no tenía solución, pero que según el punto de vista de algunos de los profesores que enseñan en dicho ciclo, si lo tenía.

El problema era el siguiente:

PROBLEMA
La figura muestra un sistema en equilibrio que consta de una barra rígida de peso despreciable unido mediante una cuerda a un esfera de masa m. Si la barra se encuentra articulada en su extremo inferior, determinar el módulo de la fuerza horizontal F que mantiene el sistema en equilibrio.
(tan θ = 1/2; g: aceleración de la gravedad)

¿Te atreverías a descubrir porqué este problema es IMPOSIBLE?

Otro problema que es imposible, pero que esta conclusión no es tan obvia como el anterior, es el siguiente:

PROBLEMA
La figura muestra un recipiente herméticamente cerrado, que contiene un líquido de densidad ρ_l en reposo respecto de él, que desciende respecto del plano inclinado libre de toda clase de rozamiento. Si dentro del líquido existe un cuerpo de densidad ρ_c (ρ_c < ρ_l) que se encuentra unido al recipiente mediante una cuerda, determinar el ángulo ε que define su posición de equilibrio relativo.

Enlace relacionado: Fuerza de empuje en sistemas acelerados

Preparándose para la Olimpiada de Física 2012

Interesante problema compartido por nuestro amigo Hugo Luyo:

El extremo de una cuerda fija a una pared vertical y el otro extremo es jalado por una fuerza horizontal de 20 N. La forma de la cuerda flexible es como se muestra en la figura. Hallar su masa. No faltan datos.

Ver resolución

Ondas Mecánicas

Recordemos la definición de una onda mecánica:

Una onda mecánica es una perturbación o alteración de las propiedades mecánicas de un medio material (posición, velocidad y energía de sus átomos o moléculas) que se propaga a a través de este, originando progresivas perturbaciones locales, transportando energía y cantidad de movimiento pero sin transporte de materia.

Todas las ondas mecánicas requieren:

1. Alguna fuente que cree la perturbación.
2. Un medio por el cual se propaga la perturbación.

Ejemplos de ondas mecánicas son las ondas sonoras, las ondas que se propagan en una cuerda tensa y las ondas en las superficies de los liquidos.

En la animación mostrada arriba se simula el sonido generado por la vibración de un diapasón. En este caso la fuente que lo genera es el diapasón, y el medio por el cual se propaga es el aire.

En la animación mostrada arriba se simula un pulso de onda generada en una cuerda tensa. En este caso no se muestra la fuente que lo genera, que puede ser la mano de una persona, y el medio por el cual se propaga es la cuerda.

Las ondas electromagnéticas no son ondas mecánicas, pues no requieren un medio material para propagarse (pueden propagarse en el vacío) y, por otro lado, cuando se propaga a través de un medio material, no necesariamente produce una alteración de sus propiedades mecánicas.

Simulación de una onda electromagnética

Clasificación de las ondas

Atendiendo a la forma como se propaga la perturbación, las ondas se clasifican en: ondas longitudinales y ondas transversales.

Las ondas longitudinales son aquel tipo de ondas que se caracterizan porque las partículas del medio oscilan en la misma dirección en que se propaga la perturbación. Como ejemplo tenemos a las ondas que se propagan en un resorte perturbado con un impulso longitudinal en un extremo.

En la figura superior se aprecia un resorte dispuesto horizontalmente en el que se ha generado una perturbación horizontal en el extremo izquierdo. Se aprecia que la perturbación se propaga hacia la derecha y cada uno de los puntos del resorte oscilan horizontalmente, hacia la derecha y hacia la izquierda.

Otro ejemplo típico de onda longitudinal son las ondas sonoras. Ver simulacion

Las ondas transversales son aquel tipo de ondas que se caracterizan porque las partículas del medio oscilan en dirección perpendicular a la dirección de propagación de la perturbación. Como ejemplo las ondas que se propagan en una cuerda tensa.

En la figura superior se aprecia un resorte dispuesto horizontalmente en el que se ha generado una perturbación vertical en el extremo izquierdo. Se aprecia que la perturbación se propaga hacia la derecha y cada uno de los puntos del resorte oscilan verticalmente, hacia arriba y hacia abajo. Ver simulacion

Las ondas longitudinales (como el sonido) se propagan en medios con resistencia a la compresión (gases, líquidos y sólidos) y las transversales necesitan medios con resistencia a la flexión, como la superficie de un líquido, y en general cualquier medio sólido. Los gases y los líquidos no transmiten las ondas transversales.

Independientemente del medio de propagación, la frecuencia de una onda es igual a la frecuencia de la fuente que la emitió.

No todas las ondas encajan en esta clasificación. Por ejemplo, mientras que las ondas que viajan en las profundidades del océano son ondas longitudinales, las ondas que viajan a lo largo de la superficie de los océanos son llamadas ondas superficiales. Una onda superficial es una onda en el que las partículas del medio experimenta un movimiento circular. Este tipo de ondas no son ni longitudinales ni transversales.

Ver simulacion

Elementos de una onda

En todo movimiento ondulatorio se distinguen los siguientes elementos:

1. La longitud de onda (λ) es la distancia que existe entre dos puntos consecutivos de la perturbación que oscilan en la misma fase, es decir que se encuentran en el mismo estado de vibración. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m).
2. La amplitud (A) es la distancia de una cresta a donde la onda está en equilibrio. La amplitud es usada para medir la energía transferida por la onda. Cuando mayor es la amplitud, mayor es la energía transferida (la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud).
3. El período (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda o lo que es igual al tiempo que tarda cada punto de la perturbación en realizar una oscilación completa. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo (s).
4. La frecuencia (f) es el número de longitudes de onda que avanza la onda en cada segundo o lo que es igual al número de oscilaciones completas que realiza cada punto de la perturbación en cada segundo. Su unidad de medida es el Hertz (Hz). El período y la frecuencia son inversos entre sí.
5. La velocidad de propagación (V) es la distancia que recorre la perturbación en cada segundo. Como el tiempo que tarda la propagación en avanzar una longitud de onda λ es T, entonces:

Velocidad de propagación en una cuerda tensa

Se verifica experimentalmente que cuando una cuerda uniforme y homogénea se encuentra tensada y fija en uno de sus extremos y en el otro se produce una perturbación transversal, se origina una onda transversal que viaja con una rapidez constante v denominada velocidad de fase.

Se demuestra que esta velocidad de fase v es directamente proporcional a la raiz cuadrada de la tensión F de la cuerda e inversamente proporcional a la raiz cuadrada de la densidad lineal de masa μ de la cuerda (masa por unidad de longitud: m/L).

En el video de arriba (cortesía de UNSW) se muestra a dos cuerdas idénticas que se encuentran sometidas a tensiones que se encuentran en la relación de 1 a 4, debido a que en sus extremos se han colocado bloques de 2 y 8 kg. Si en el extremo de cada una de estas se origina simultáneamente una perturbación, se aprecia que esta avanza hasta el extremo opuesto y se refleja verificándose que el tiempo que tarda el primero en retornar al punto de partida siempre es el doble que la del segundo, lo que implica que sus velocidades se encuentran en relación de 1 a 2.

La velocidad de fase de una onda en una cuerda tensa es directamente proporcional a la raiz cuadrada de la tensión a la que se encuentra sometida.

Ecuación de una onda transversal

El objetivo de este item es obtener una ecuación que involucre tres variables (dos de posición y una de tiempo) que permite determinar determinar una de ellas sabiendo las otras dos.

• La posición y de un punto de la onda depende de la posición x y del tiempo t.
• El punto de la onda que se encuentra en la posición x oscila con un período T.
• En un tiempo t la amplitud es períodica en x.

Uno de los determinantes de la forma de una onda es el movimiento de la fuente generadora de la perturbación que origina la onda.

Consideremos el caso que la fuente ejecuta un movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento de un punto ubicado en el origen de coordenadas x=0 es.

Según esta ecuación el punto ubicado en el origen de coordenadas se mueve inicialmente en la dirección +y. Un punto ubicado a una distancia horizontal x del origen de coordenadas experimentará el mismo movimiento después de un tiempo t = t - x/v. Por lo tanto la ecuación del movimiento de este punto será:

En general la ecuación de una onda transversal unidimensional que se propaga a lo largo del eje x, cuyo extremo izquierdo oscila armónicamente en la dirección del eje y, y que en el instante t=0 este se mueve hacia arriba, es:

Donde ω = 2π f es la frecuencia angular y k = 2π/λ se denomina número de onda definido como el número de ondas que existen cada 2π metros de longitud. En esta fórmula se usa el signo menos (-) cuando la onda se propaga a la derecha y signo más (+) cuando la onda se propaga a la izquierda.

A partir de la definición de ω y de k se deduce que la velocidad de fase de la onda es:

No confundir esta velocidad con la velocidad dy/dx que es la velocidad transversal de un elemento de la onda.

En general la ecuación de una onda transversal unidimensional que se propaga a lo largo del eje x, cuyo extremo izquierdo oscila armónicamente en la dirección del eje y, y que en el instante t=0 este se mueve hacia abajo, es:

Al igual que en el caso anterior, en esta fórmula se usa el signo menos (-) cuando la onda se propaga a la derecha y signo más (+) cuando la onda se propaga a la izquierda.

Enlaces relacionados:
Energía, potencia e intensidad de una onda

Problema desafío de Física

En el website de El Tamiz han colocado un problema muy interesante de física, y siguiendo una metodología similar al que usé en el problema reto que propuse anteriormente, el plazo máximo de entrega de su solución es este domingo 6 de noviembre (enviar solución a desafios@eltamiz.com).

PROBLEMA
Un bloque pesado de masa M va al encuentro de otro muy pequeño de masa m < M que se encuentra inicialmente en reposo sobre una superficie completamente lisa, a una distancia d de la pared vertical. Luego de efectuarse un choque elástico entre estos, el bloque pequeño avanza hacia la derecha y choca elásticamente con la pared vertical, luego de lo cual vuelve a chocar elásticamente con el bloque mayor, y así sucesivamente.Determinar:
A) ¿A qué distancia de la pared se detiene el bloque mayor?
B) ¿Cuántos choques se realizaron hasta ese momento?
Considerar que m/M no es despreciable, pero (m/M)² si los es.

Resolución de problema reto de Física No 02

El Viernes 30 de Septiembre del pte propuse un problema reto de Física del tema de cinématica para que sea resuelto usando solo matemática elemental. El problema fue el siguiente:

PROBLEMA
Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante v_o desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento.Expresar en téminos de la siguiente constante:

Habiéndose cumplido el plazo dado para su resolución (30 de Octubre), Fernando Alva Gallegos y Yunelly Gonzales Rivera han llegado a la solución del problema, pero ninguno ha demostrado matemáticamente que la trayectoria que hace que el tiempo de vuelo sea máximo es aquella en donde los puntos A y B pertenecen a un diámetro.

Mi resolución consta de dos pasos:

Primero, demostraremos que, de todas las parábolas cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia, la de tiempo máximo es aquella en donde los puntos A y B pertenecen a un diámetro.

Segundo, conocida la trayectoria de tiempo máximo, determinaremos el ángulo θ que define la posición de lanzamiento.

Para determinar la trayectoria de tiempo máximo, asumamos que el segmento AB, cuya longitud es d, no pasa por el centro de la circunferencia y forma con la vertical un ángulo genérico ε.

Necesitamos establecer una relación matemática entre el tiempo t y la distancia d para, una vez analizado su estructura algebraica, determinar el valor de d que cumple con la condición del problema.

Recordando que la proyección horizontal de todo movimiento parabólico es un MRU y la vertical es un MVCL tenemos:

Eliminando ε de estas ecuaciones (elevando al cuadrado miembro a miembro y sumando), obtenemos la siguiente ecuación de 2do grado:

Resolviendo esta ecuación, usando fórmula para solución general de la ecuación de segundo grado, tenemos que:

Analizando esta expresión se deduce que, debido a que v_o y g son constantes, el tiempo t será máximo cuando d sea máximo, esto es, cuando d = 2R, y cuando se cumple esto, el ángulo ε se convierte en el ángulo θ.

Para determinar el ángulo θ que define la posición de lanzamiento que hace que el tiempo de vuelo sea máximo, usemos las relaciones (1) y (2), pero ahora considerando d = 2R y ε = θ.

Eliminado t de estas ecuaciones:

Teniendo presente la condición v_o² = 4 kgR:

Finalmente, transformando esta expresión a cosenos y resolviendo la ecuación de 2do grado que se obtiene, tenemos que:

Varias personas han intuido que la trayectoria que cumple con la condición del problema es aquella en que AB es un diámetro, pero nadie lo pudo demostrar fehacientemente.

La intuición o corazonada es buena en el sentido que nos guía y nos da las pautas iniciales para seguir una línea de investigación, pero esta debe ser demostrada y corroborada, o, en todo caso formular una hipótesis de esta intuición.

El mundo físico está lleno de ejemplos que desafían la intuición y el "sentido común". Cualquiera que ha estudiado física cuántica o relatividad sabe esto.

Enlace relacionados:

Problema reto de Física No 01

Problema: Tiempo máximo que un cuerpo permanece en el aire

Problema concurso de Física

El Viernes 30 de Septiembre del pte propuse un problema reto de Física del tema de cinématica para que sea resuelto usando solo matemática elemental.

Han transcurrido mas de tres semanas desde entonces (el plazo se vence este Domingo 30) y algunos me han hecho algunos comentarios, pero nadie me ha enviado una resolución formal a mi correo personal.

El premio simbólico que ofrecí inicialmente como recompenza al esfuerzo intelectual fue de US$10.00 (diez dólares americanos), y ahora duplico este monto (US$20.00).

Reitero mi invitación y los exorto a que envién sus resoluciones.

CEPREUNI 2012-1:PARC1

El día de ayer se realizó en las instalaciones de la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) el primer examen parcial del ciclo 2012-1 de la CEPRE-UNI.

Mi colega y amigo Max Soto Romero ha resuelto los 4 primeros problemas (de los 8) del curso de Física en video.

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4