Nuestro amigo y colega
Oswaldo Farro, ha publicado en su muro del facebook un problema de entrenamiento para olimpiadas del equipo de la region de Novosibirsk en Rusia, que comparto con uds.
PROBLEMA
Un contenedor de agua tiene la forma de un prisma de tres caras donde el borde superior es horizontal. En el momento inicial, la temperatura del agua es una función lineal de la altura. En el punto más bajo de la temperatura del agua T1=4°C, y en la superior alcanza T2=13°C. Con el paso del tiempo, la temperatura en todo el recipiente se equilibró. Calcular la temperatura To de equilibrio. Considerar que las paredes del recipiente no absorben calor.
Resolución
Si tenemos dos cuerpos de masas m1 y m2 que se encuentran inicialmente a temperaturas T1 y T2, y solo hay intercambio de calor entre ellos, la temperatura de equilibrio térmico que alcanza este sistema después de un cierto tiempo es:
Si tenemos tres cuerpos de masas m1, m2 y m3 que se encuentran inicialmente a temperaturas T1, T2 y T3:
Esto indica que la
temperatura de equilibrio térmico T
eq de un sistema de cuerpos es la
media ponderada de las temperaturas iniciales de los cuerpos.
Pero como en la
mecánica newtoniana, el
centro de masas (CM) de un sistema de partículas es la
media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen, podriamos decir que si ubicamos en una recta numérica las temperaturas iniciales de las partes de un sistema termodinámico aislado, la
temperatura de equilibrio térmico del sistema se encuentra ubicado en el centro de masas (o centro de gravedad) de estas temperaturas iniciales.
Observe como determino gráficamente, por criterio de centro de gravedad, la temperatura de equilibrio de un sistema formado por tres cuerpos de masas m1=m, m2=m y m3=2m que se encuentran inicialmente a temperaturas T1=20°C, T2=40°C y T3=60°C.
Dicho esto, planteemos el problema en cuestión.
Dividamos mentalmente el volumen de agua en secciones delgadas paralelas a la superficie libre del agua. Resulta fácil verificar que la masa y la temperatura de cada una de estas secciones aumenta linealmente con la altura medida desde el borde inferior (la masa de la sección mas baja es prácticamente cero).
A continuación se muestra un diagrama de temperaturas de todas estas secciones (hemos representado con una flecha hacia abajo las masas de las secciones delgadas que aumentan linealmente con la temperatura).
Por criterio de centro de gravedad, se deduce que la temperatura de equilibrio del sistema se encuentra dos veces mas alejado de la temperatura mas baja (4°C) que de la temperatura mas alta (13°C) y por tanto esta temperatura es de 10°C (recordar que el centro de gravedad un triangulo se encuentra en su baricentro).