Olimpiada Peruana de Física: Examen Final

Nuestro amigo Hugo Luyo publicó hace unas semanas en su muro del face un problema interesante de Física.

PROBLEMA
Sobre una superficie horizontal está fijo un cubo con lado a = 1 cm. De uno de sus extremos se ata un hilo de longitud l = 50 cm con una esfera. A la esfera se le comunica una velocidad v = 10 cm/s, en dirección perpendicular al hilo. ¿Al cabo de qué tiempo la esfera golpea al cubo?

RESOLUCIÓN

Problema de matemática

Esta es la resolución del problema de álgebra que me consultaron hace mas de un mes, que mi dilecto amigo y eximio investigador, Oscar Reynaga Alarcón, me envio inmediatamente despues que se lo solicite.

PROBLEMA
Determine el menor valor entero “k” que satisface la siguiente desigualdad:

Resolución
Hacer clic sobre la imagen para ver el detalle de la resolución.

Gracias Oscar.

Vaso flotando entre dos líquidos

Este problema de Física ha sido propuesto en el reciente simulacro de admisión tomado en la Universidad Nacional del Callao. Mi opinión es que este problema tiene su "gracia" pero el grado de dificultad de este, está por encima de la media para dicha universidad.

PROBLEMA
La figura muestra un vaso de 250 g de paredes delgadas cuyo fondo es de 4 cm de grosor y cuya sección transversal es de 50 cm² que se encuentra en equilibrio flotando entre dos líquidos no-miscibles 1 y 2 cuyas densidades son de 900 y 1000 kg/m³ respectivamente. Determinar la altura h.

RESOLUCIÓN
Lo inusual de este problema, y es la razón por el que lo considero interesante, es que si bien es cierto tenemos un cuerpo sumergido en dos líquidos diferentes, NO se puede aplicar directamente el principio de Arquimedes.
Primero, determinemos la fuerza resultante de las fuerzas de presión que ejercen los líquidos sobre el vaso. Debido a que las fuerzas de presión que los líquidos ejercen sobre las paredes laterales del vaso se anulan, es suficiente con analizar las fuerzas verticales de presión que se ejercen sobre las caras horizontales del vaso: sobre las caras inferior y superior del fondo.

La fuerza resultante F de las fuerzas de presión se obtiene restando las fuerzas de presión sobre la cara inferior P₂A y sobre la cara superior P₁A.

Esta fuerza es similar a la fuerza de empuje hidrostático a la que se refiere el principio de Arquimedes.
Como el cuerpo se encuentra en equilibrio, la fuerza de gravedad F_g = mg es de igual módulo que la fuerza F, entonces:

De aqui se deduce que la altura h es de 0,1 m ó 10 cm.

Problema cañón de artillería

Nuestro amigo Oswaldo Farro ha publicado en su muro del face un problema interesante de Física.

PROBLEMA
En el preciso momento en que un artillero dispara un proyectil, este empieza a deslizarse sobre un plano inclinado áspero cuyo coeficiente de rozamiento es μ. Despreciando la resistencia del aire, calcule el ángulo de inclinación ε, que forma la velocidad de lanzamiento con el plano inclinado, para que la bala impacte en el artillero.

RESOLUCIÓN
A partir de la 2da ley de Newton se obtiene la aceleración de un cuerpo que resbala por un plano inclinado áspero. Se demuestra que esta aceleración es:

Por otro lado, teniendo en cuenta que todo movimiento parábólico puede considerarse como la ejecución simultánea de un MRU (d = v_ot),  con la velocidad de lanzamiento v_o, y de un MVCL de trayectoria vertical (h = 1/2 gt²), y que el artillero se mueve con MRUV (d = 1/2 at²), determinemos una relación geométrica (otra) entre la aceleración a del artillero y la aceleración de la gravedad g.

Aplicando ley de senos al triángulo vectorial mostrado en la figura, tenemos:

Reemplazando la relación de la aceleración obtenida anteriormente obtenemos la siguiente relación:

Usando aqui la fórmula del coseno de una diferencia:

De donde se deduce que:

Lo que causa extrañesa de esta respuesta es que el ángulo ε no depende del ángulo θ. Solo depende del coeficiente de rozamiento cinético μ.

Problema de Geometría

Gracias al invalorable aporte de nuestro amigo Erico Palacios de Matematicas y Olimpiadas, esta es la resolución del problema geometrico propuesto por Milton Donaire a través del blog SobreGeometrias.

PROBLEMA
Si la medida del arco ST es de 100^o, calcule la medida del ángulo x. P, Q y B son puntos de tangencia y S, M y N son colineales.

Antes de resolver este problema, demostremos un teorema:.

Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q₁ y R₁ y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q₂ y R₂ sobre la otra de modo que Q₂ se encuentra en la prolongación de Q₁P y R₂ en la prolongación R₁P, se cumple que el segmento R₂Q₂ es paralelo a AB.

DEMOSTRACION
Tracemos el segmento Q₁R₁. Teniendo en cuenta las definiciones de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia menor se verifica que las medidas de los ángulos R₁Q₁P y R₁PB son iguales. Por otro lado, teniendo en cuenta la definición de ángulo inscrito en la circunferencia mayor se verifica que las medidas de los ángulos R₁Q₁Q₂ y R₁R₂ Q₂ tambien son iguales.

De esto se concluye que el segmento R₂Q₂ es paralelo al segmento AB y que los arcos AR₂ y BQ₂ son iguales.

A partir de esto se puede establecer el siguiente corolario:

Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q₁ y R₁ y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q₂ y R₂ sobre la otra de modo que R₂ se encuentra en la prolongación de R₁P y R₂Q₂ es paralelo a AB, se cumple que el punto Q₂ se encuentra contenida en la prolongación del segmento Q₁P.

A partir de esto resolvamos el problema en mensión.

Primeramente, como los segmentos QB y QP son tangentes a la circunferencia, sus longitudes deben ser iguales y por tanto el triángulo BQP es isósceles. 

Luego, de acuerdo al teorema demostrado anteriormente, el segmento ST es paralelo al segmento AQ. 

Luego, de acuerdo al corolario consecuencia del teorema, como el segmento AQ, que es tangente a la circunferencia menor, y el segmento ST son paralelos, los puntos M, Q y T son colineales. 

Finalmente, aplicando la definición de ángulo inscrito a la circunferencia mayor se verifica que la medida del ángulo SMT es de 50^o, aplicando la definición de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia más pequeña se verifica que las medidas de los ángulos NMQ y NQP son de 50^o.

De esto se deduce que el ángulo x es de 65^o.

Problemas interesantes de matemática

Me han consultado un par de problemas de matemática y espero que alguno de mis colegas y amigos me pueda ayudar a resolverlo y de esta manera contribuir al conocimiento de nuestra comunidad.

PROBLEMA
Determine el menor valor entero “k” que satisface la siguiente desigualdad:

Ver resolución

PROBLEMA
Si la medida del arco ST es de 100^o, calcule la medida del ángulo x. P, Q y B son puntos de tangencia y S, M y N son colineales.

Ver resolución

Problemas para olimpiadas de Física

Este Sábado 19 de Mayo es la prueba de calificación de la Olimpiada Nacional de Física. Los que califiquen nos representarán en diferentes olimpiadas a nivel internacional. A continuación tres problemas físicos de diferentes capítulos y grados de dificultad que los he seleccionado para aquellos que se preparan para esta competencia.

PROBLEMA 1
Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de donde se debe dejar caer una partícula, para que esta, después de chocar elásticamente con el plano inclinado, ingrese por la canaleta delgada mostrada en la figura.

Para este problema, la ecuación cartesiana de la trayectoria es:

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PROBLEMA 2
Una esferilla se deja en libertad de movimiento de la parte superior de un plano inclinado. Si esta recorre una distancia e hasta que choca elásticamente con la superficie horizontal, determinar el máximo valor que puede tomar el número n. Desprecie todo tipo de rozamiento.

Para este problema, el máximo valor de n, y el correspondiente ángulo θ, es:

Ver resolución

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PROBLEMA 3
La figura muestra un sistema que rota alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante ω. Si un manguito de masa m se encuentra insertado en una guía horizontal y unido a un resorte de constante K, determinar la frecuencia de oscilación de esta respecto de su posición de equilibrio. Desprecie todo tipo de rozamiento.

Para este problema, el período de oscilación del manguito es: