sábado, 28 de enero de 2012

Movimiento parabólico sobre una montaña congelada

Mi colega de curso, el Prof Oswaldo Farro, ha traducido un problema propuesto en la fase local de las olimpiadas rusas de física, que me parece interesante y comparto con ustedes.

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Una montaña congelada con dos pendientes forman un ángulo γ con respecto a la horizontal. Cada pendiente tiene la forma de un rectángulo de lados a y 2a. Un jugador de jockey ubicado en el punto A quiere lanzar un disco al arco que se encuentra en el punto B de tal forma que el disco no se despegue del hielo durante su movimiento. ¿Con qué velocidad y qué ángulo respecto del lado AO el jugador debe lanzar el disco para conseguir su objetivo? Considerar que la cima de la montaña está ligeramente redondeada y las dimensiones del disco y la fricción se desprecian.

Resolución

Antes que nada diremos que todo cuerpo que se mueve sobre un plano inclinado libre de rozamiento lo hace con una aceleración constante g' que es una componente de la aceleración de la gravedad (ver figura I).

Por otro lado, cuando se lanza un cuerpo en forma tangencial a una superficie cilíndrica completamente lisa, siempre hay la posibilidad que este se despegue de ella. Esta circunstancia depende de la velocidad con que es lanzada y de la curvatura de dicha superficie. La figura II muestra que si el valor de la velocidad de lanzamiento Vθ es muy pequeña (caso 1), este no logra cruzar el domo de la superficie cilindrica (resbala, se detiene y luego regresa); en cambio, si este valor es muy grande, este se despega de la superficie en el instante del lanzamiento (caso 3).

Determinemos el mínimo valor que debe tener la velocidad Vθ para que el cuerpo se despegue de la superficie en el instante del lanzamiento. Este valor será mínimo cuando el radio de curvatura de la trayectoria en el instante del lanzamiento es R y la aceleración centrípeta es g' cos γ (ver figura III).

Con una velocidad mayor, el cuerpo se despegará de la superficie en el instante del lanzamiento.

De esto se deduce que si el radio de la superficie cilíndrica es pequeño, la velocidad de lanzamiento Vθ que cumple con la condición de que el cuerpo no se despegue de la superficie es practicamente cero.

Según esto, para que el disco no se despegue de la montaña de hielo en ningún momento, cuando este llegue a la cima de la montaña su velocidad en la dirección de la aceleración de g' debe ser practicamente nula, y por tanto, el movimiento de subida y de bajada por la montaña serán semiparábolas idénticas, como se muestra en la figura IV.

De las ecuaciones del movimiento parabólico:

se deduce que:

Observe que este ángulo no depende de la aceleración de la gravedad.

Reemplazando en la relación (1) y teniendo presente que la aceleración de la gravedad g en este caso es g sen γ, se deduce que:

sábado, 7 de enero de 2012

Equilibrio de un sistema casquete - barra

Hace unos días mi amigo y colega Max Soto Romero de la Academia Trilce me planteó un problema de equilibrio, que a primera vista me pareció "extraño" o inusual.

El problema era el siguiente:

PROBLEMA
Un sistema está formado por un cascarón semiesférico de radio R y una barra de longitud L que se encuentra parcialmente dentro de él. Si la masa del cascarón es M y la de la barra es m, y el sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada, encontrándose la barra dispuesta en forma horizontal, determinar el ángulo θ que forma la barra con el radio del cascarón que pasa por el punto de contacto entre estos. Considere que la barra es uniforme y homogénea y que no existe rozamiento.

Resolución

Para resolver este problema, primero analicemos el estado de equilibrio de la barra uniforme y homogénea.

Antes de construir el DCL de la barra, que es el primer paso para resolver un problema de equilibrio, señalemos que la fuerza de reacción normal Fn debido al contacto entre dos cuerpos siempre es perpendicular a la superficie de apoyo.

Como la barra interactúa con tres cuerpos (dos interacciones por contacto y una a distancia), sobre esta actúan tres fuerzas: dos fuerzas de reacción normal y una fuerza de gravedad (peso). La figura adjunta muestra el DCL de la barra:

El segundo paso para resolver un problema de equilibrio es aplicar las condiciones de equilibrio. De la 1ra condición de equilibrio se deduce que si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan tres fuerzas, estas, al ser graficadas uno a continuación del otro, deben formar un triángulo cerrado.

Como la resultante de las fuerzas verticales Fg y Fn es vertical, para que se cumpla la 1ra condición de equilibrio, la tercera fuerza F'n también debería ser vertical. De esto se concluye que la fuerza de reacción normal entre la barra y la superficie interior del casquete debe ser nula (F'n=0) y por tanto Fg = Fn.

Por otro lado, de la 2da condición de equilibrio se deduce que, si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan dos fuerzas (Fg y Fn) estas deben ser colineales. Por tanto, como Fg actúa en el punto medio de la barra, el punto de apoyo de la barra se encuentra también en su punto medio.

Antes de analizar el estado de equilibrio del sistema como conjunto, debo señalar que el centro de gravedad del cascarón semiesférico se encuentra en el punto G ubicado sobre su eje de simetría a una distancia R/2 de su centro de curvatura, es decir YG = R/2 (esto se demuestra por métodos de integración que escapan a los alcances de este blog, aunque estoy tratando de demostrarlo por métodos "mas elementales").

A continuación se muestra el DCL del sistema casquete-barra (no se grafican las fuerzas internas de contacto entre las partes del sistema).

Como el sistema casquete-barra interactúa con tres cuerpos exteriores (una interacción por contacto y dos a distancia), sobre este actúan tres fuerzas verticales: una fuerza de reacción normal Fn y dos fuerzas de gravedad (pesos de las partes).

Aplicando la 2da condición de equilibrio al sistema, respecto del punto de apoyo P:

De esto se deduce, por consideraciones estrictamente geométricas, que existe una relación definida entre la longitud L de la barra y el radio R del casquete para que se cumpla la condición del problema.

Como comentario final mencionaré que este problema sale de los cánones normales y ha dado que hablar al mundillo preuniversitario.

Felicitaciones por hacer algo diferente Max . . . and go on.