Este interesante problema fue propuesto en la reciente Olimpiada Online de Física (OOF 2013) organizada por la Sociedad Peruana de Docente de Física (SPDF).
Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente
Un sistema formado por dos esferillas idénticas A y B, conectados por medio de una cuerda inextensible de longitud L, se deja en libertad de movimiento de la posición que se indica en la figura, encontrándose B a una altura 2L/3 respecto del piso. Si el sistema comienza a moverse libre de toda clase de rozamiento, y en el instante que B llega al piso esta adhiere a él, mientras que A se despega de la mesa, ¿a qué altura h respecto del piso se encontrará A en el instante que la cuerda que los une se tensa nuevamente?
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Resolución
Como el sistema mostrado se encuentra libre de toda clase de rozamiento, se conservará su energía mecánica hasta antes que B choque con el piso.
Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica al sistema en el proceso en donde este pasa del ESTADO 1 al ESTADO 2.
Cuando se produce el choque de la partícula B con el piso una parte de la energía mecánica del sistema (la energía cinética de B) se transforma en otras formas de energías no-mecánica (térmica, interna, acústica, etc), pero como a partir de ese momento la partícula A se mueve parabólicamente afectado solo por la fuerza de gravedad, su energía mecánica se conservará hasta el instante que la cuerda vuelve a tensarse.
Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica a la partícula A en el proceso en donde esta pasa del ESTADO 3 al ESTADO 4.
A continuación analicemos cinemáticamente el movimiento parabólico que describe la partícula A al pasar del ESTADO 3 al ESTADO 4, asumiendo que t es el tiempo transcurrido en este proceso.
Como la componente horizontal del movimiento parabólico que describe esta partícula es un movimiento rectilíneo uniforme, su velocidad horizontal permanecerá constante y ademas su desplazamiento horizontal será proporcional al tiempo transcurrido:
Por otro lado, como la componente vertical del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, su velocidad vertical variará linealmente con el tiempo:
Usando la identidad pitagórica fundamental, eliminemos el ángulo θ, de las ecuaciones (3) y (5):
Reemplazando en esta ecuación las ecuaciones (2) y (4)tenemos que:
Finalmente, reemplazando la ecuación (1) en esta ecuación tenemos que: