viernes, 30 de septiembre de 2011

Problemas reto de Física No 02

Les propongo un problema de física elemental y los invito a proponer una solución usando solo matemática elemental, es decir, sin usar las herramientas del cálculo infinitesimal.
El premio simbólico por este esfuerzo es de US$10.00 (diez dólares americanos) que será enviado, via Western Union, al destino de la persona que envie la resolución más original.
El plazo para presentar sus resoluciones será el 30 de Octubre del 2011.

PROBLEMA
Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante vo desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento.Expresar en téminos de la siguiente constante:

Enlace relacionado: Problema reto de Física No 01

miércoles, 28 de septiembre de 2011

XVI Olimpiada Iberoamericana de Física

El día de ayer se inició la versión XVI de la Olimpiada Iberoamericana de Física, con sede en la ciudad de Guayaquil-Ecuador, en el que participan jóvenes estudiantes preuniversitarios de los países iberoamericanos.

Cada país participante tiene derecho a estar representado por un equipo de hasta cuatro estudiantes no-universitarios que sean menores de 18 años y que no hayan participado anteriormente en eventos de este tipo (Olimpiada Internacional de Física (IPhO) o Olimpiada Iberoamericana de Física (OIbF)).

El examen consta de una prueba experimental, que se tomó el día de ayer y otra teórica, que se está tomando en estos momentos y cuyo contenido comentaremos mas adelante.

Los estudiantes que nos representan (Perú) son:

  • Román Vicharra Cristian (Saco Oliveros)
  • Sarmiento Cardenas, Miguel (Pamer)
  • Huayta Zapata, Giancarlos (Bertold Brecht)
  • Ocopa Yugra, Jesús (Prolog)

Todos estos son colegios denominados "preuniversitarios", tan criticados por algunos en nuestro medio, pero son de estos que salen alumnos que sacan la cara por nuestro país en olimpiadas internacionales de matemáticas y ciencias, como esta.

domingo, 25 de septiembre de 2011

Tiempo máximo que un cuerpo permanece en el aire

Hace algunos meses publiqué un post en acerca de máximos y mínimos y deje este problema propuesto. Hoy, por una iniciativa del Prof. Renato Brito (Brasil) que me hizo ver su resolución (correcta), les presento la mía.

PROBLEMA
Una partícula es lanzada sucesivas veces desde un punto fijo A de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O, con diferentes velocidades iniciales pero todas en una misma dirección definida por el ángulo θ. Determinar el tiempo máximo que puede permanecer en el aire antes de chocar con el cilindro. Despreciar toda clase de rozamiento.

Resolución

Analicemos el movimiento parabólico considerándolo como la composición de un movimiento horizontal (MRU) y de un movimiento vertical (MVCL).

Definamos la posición del punto de impacto con la posición del extremo inferior del segmento que pasa por el centro de la circunferencia que forma un ángulo ε con la horizontal.

De la geometría del problema se deduce que el desplazamiento horizontal x = R (cos θ + cos ε) y el desplazamiento vertical y = R (sen θ - sen ε).

Descompongamos la velocidad de lanzamiento vo en componentes rectangulares y analicemos el movimiento horizontal (MRU) y vertical (MVCL).

En el eje x:

En el eje y:

Eliminando vo de estas ecuaciones (reemplazando la 1ra en la 2da), agrupando términos semejantes y teniendo en cuenta la fórmula del seno de una suma de ángulos, tenemos que:

De esta expresión se deduce que el tiempo t será máximo cuando el ángulo θ + ε sea 90o, y por tanto:

Este resultado se puede generalizar, esto es, para cualquier posición A en donde se lance la partícula, la trayectoria de tiempo máximo será aquella en la que la dirección de lanzamiento, definido por el ángulo θ, y la de la recta que pasa por el punto de impacto y el centro del cilindro, definido por el ángulo ε, cumpla que: θ + ε sea 90o.

Una resolución alternativa

Me han enviado desde Brasil una resolución alternativa y elegantisima de este problema que con su permiso paso a publicarlo.

La idea subyacente es analizar el movimiento parabólico descomponiéndolo en dos componentes: una en la dirección del lanzamiento (recta AO) y otra en la dirección perpendicular.

De la figura superior se puede concluir fácilmente que el tiempo que la partícula tarda en chocar será máximo cuando su desplazamiento en la dirección de la componente g cos θ sea máximo, esto es cuando este desplazamiento sea R en módulo.

De aqui se deduce que:

Esto demuestra lo que siempre les digo a mis alumnos: Hay muchas maneras de resolver un problema. Unas mas elegantes que otras.

lunes, 19 de septiembre de 2011

CEPREUNI 2012-1: Primera Prueba Calificada - Física

Los problemas de física que se propusieron en el 1ra prueba prueba calificada de la CEPREUNI este fin de semana fueron los siguientes:

PROBLEMA 07

Resolución

De la primera expresión, determinemos la expresión dimensional del campo magnético B:

F = I L B   ⇒   L M T -2 = I L [B]   ∴   [B] = M T -2 I -1

Reemplacemos, [B] en la expresión del flujo magnético φ:

φ = B A   ⇒   [φ] = M T -2 I -1 L2   ∴   [φ] = M L2 T -2 I -1


PROBLEMA 08

Resolución

Descompongamos los vectores x e y en dos componentes en las direcciones mostradas.

Como las componentes que se encuentran en la recta tangente a la circunferencia son de igual módulo, y tienen dirección opuesta, estas se anulan.

Por tanto:

De la geometría del problema se verifica que m = n = a - a √2 / 2, siendo a √2 / 2 el radio de la circunferencia.

PROBLEMA 09

Resolución

Aplicando la definición de producto vectorial (en módulo) y producto escalar tenemos:

Dividiendo estas ecuaciones miembro a miembro se deduce que tanθ = 4/3 y por tanto θ = 53o.

PROBLEMA 10

Resolución

I. FALSO: La persona, el arbol o la manzana son objetos de referencia. Para que sea considerado sistema de referencia se debe asociar al cuerpo de referencia un sistema de coordenadas y un cronometro. Ver mas detalle

II. FALSO: La trayectoria, y en general cualquier característica del movimiento de un cuerpo, depende del sistema de referencia elegido. Respecto del arbol la trayectoria descrita por la manzana es vertical y respecto de la persona es curvilíneo.

III. FALSO: Respecto de la manzana se observa que la persona se mueve con aceleración constante.

PROBLEMA 11

Resolución

Apliquemos la definición de velocidad media (Vm = d/Δt) en los intervalalos de tiempo t ∈ [t1, t2] y t ∈ [t2, t3] y a partir de alli los desplazamientos experimentados en dichos intervalos:

Luego, como nos piden la velocidad media en el intervalo de tiempo t ∈ [t1, t3]:

De donde:

PROBLEMA 12

Resolución

Como el móvil se mueve rectilineamente con una rapidez constante de 20 m/s (72 km/h) en 10 s recorrerá 200 m. Ubiquemos la posición del móvil en el instante t = 0 (punto P).

De la geometría del problema se deduce que: d = 35 m y por tanto dx = 21 m y dy = 28 m. Por tanto, las coordenadas de la posición del móvil en el instante t = 0 es P(-21; -40) m.

PROBLEMA 13

Resolución

Como el gráfico x - t del movimiento del ratón expresa que el ratón recorre 40 m en 4 s, partiendo del reposo, se deduce que:

Determinemos a continuación el instante en que el ratón pasa por la posición x = 62,5 m.

Finalmente, determinemos la aceleración que debe tener el gato para que, partiendo de la posición x = -12,5 m, en el instante t = 5 s se encuentre en la posición x = 62,5 m.

domingo, 18 de septiembre de 2011

CEPREUNI 2012-1: Seminario No 1 - Física

He seleccionado algunos problemas representativos del curso de FISICA del seminario 1 de la CEPREUNI 2012 - 1, de los siguientes temas (1ra prueba calificada):
  • Cantidades físicas fundamentales y derivadas; SI y análisis dimensional.
  • Vectores.
  • Cinemática de la partícula (movimiento en una dimensión); Gráficos del movimiento.
PROBLEMA 03
La ecuación:es dimensionalmente homogénea donde W es el trabajo y t es el tiempo. Determine α + β + θ, si:

La respuesta de este problema es -6/5

PROBLEMA 12
En la semicircunferencia de la figura de radio R se hallan los vectores a, b, c, y d. Determinar el módulo del vector suma.

La respuesta de este problema es 2R.

PROBLEMA 19
Se aplica una fuerza de módulo100 √141 N en el punto P, perpendicularmente a la superficie ABC, como se muestra en la figura. Halle la fuerza F (en N).

La respuesta de este problema es:

PROBLEMA 43
A continuación se muestra el gráfico posición - tiempo para dos partículas A y B que se encuentran distanciadas 10 m en t = 0 s. ¿Qué distancia (en m) las separa en t = 5 s?

La respuesta de este problema es 15 m. Los problemas 41 y 45 son similares a este.

PROBLEMA 51
Una partícula realiza MRUV sobre el eje X, cuyo gráfico velocidad en función del tiempo se muestra en la figura.Se propone:Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de estas proposiciones.

La respuesta de este problema VFV.

PROBLEMA 65
Un proyectil se lanza desde el punto A e impacta en el punto B de una pared, como se muestra en la figura. Después de rebotar en la pared el proyectil aterriza en el punto medio entre A y D. Si el tiempo de vuelo desde A hasta C es de 6 s, y en el rebote instantáneo en la pared solo cambia de orientación la componente horizontal de la velocidad, halle la velocidad en B inmediatamente después del rebote. Considere tanα = 2.

sábado, 10 de septiembre de 2011

Concepto físico y químico de materia

En reciente proceso de admisión a la UNI se propuso un problema de Química del tema de materia-energía en el que no hubo consenso al momento de resolverlo. No es la primera vez que sucede esto.

Es conocido que los docentes de Física y Química tengan diferentes puntos de vista de ciertos conceptos cómunes a estas ciencias (no debería ser así), pero que los mismos docentes de Química no se pongan de acuerdo en esto . . . uhmmmm

Los profesores de Química replican que sus conceptos o definiciones que dan a sus alumnos dependen de la universidad a donde ellos postulan, y creo que tienen razón (he visto algo de esto en el curso de Física). No debería ser así, pero cada universidad tiene una posición tomada respecto de un concepto o definición que debería, en teoría, ser universal.

El problema en mención es el siguiente:

PROBLEMA
Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa(F).

I. La materia es transformable en energía.
II. Los átomos son indivisibles.
III. El peso de un cuerpo se mide con una balanza.

A) FFF B) VFF C) FVF D) VVF E) VVV

Como es habitual, después del proceso de admisión las academias de preparación preuniversitaria en nuestro medio publican sus respectivas resoluciones y la mitad de ellas discreparon en el valor de verdad de la 1ra proposición. Según las academias Cesar Vallejo y Trilce esta proposición era Falsa y según las otras que era Verdadera (Trilce cambió de parecer luego en su versión de la web).

Veamos la argumentación que dio la academia Cesar Vallejo, respecto de esta proposición:

La de la academia Pamer:

La de la academia Pitágoras:

La versión actual (modificada) que se aprecia en el website de la academia Trilce:

Resulta obvio que la discrepancia surge de la diferencia semántica entre los conceptos de materia y masa. Lectura: Uso diferenciado de los conceptos materia y masa.

Desde mi punto de vista, el concepto de materia, en la argumentación de la Cesar Vallejo, está ceñida a la concepción filosófica del materialismo dialéctico según la cual la materia se manifiesta en dos grandes categorías físicas: como sustancia y como campo.

La sustancia es una variedad cualitativa de la materia que tiene a la masa como medida cuantitativa de sus propiedades físicas. Está representada por las llamadas partículas elementales, cuya asociación determina la conformación de átomos, moléculas y cuerpos materiales.

El campo es una formación material que vincula entre sí a los cuerpos, transmitiendo la acción (energía) de uno a otro. Los elementos particulares del campo electromagnético son los fotones, que se diferencian de la sustancia por no poseer masa en reposo y moverse en el vacío a una velocidad constante (la de la luz). Los elementos particulares del campo gravitacional son los gravitones, cuya existencia aún no ha sido verificada.

Desde este punto de vista la diferencia fundamental entre sustancia y campo es que la masa es la medida de la sustancia, mientras que la energía lo es del movimiento ondulatorio, y por tanto del campo.

Por otro lado, actualmente es aceptada la equivalencia entre la masa y la energía dada por la expresión de la teoría de la relatividad de Albert Einstein:

lo que indica que la masa conlleva una cierta cantidad de energía aunque se encuentre en reposo, esto es, que la energía en reposo de un cuerpo es el producto de su masa por su factor de conversión (velocidad de la luz al cuadrado). Esta ecuación permite extender la ley de conservación de la energía a fenómenos como la desintegración radiactiva.

Extendiendo esta concepción dialectica de la materia (teniendo en cuenta el principio de equivalencia entre la masa y la energía), se postula que la cantidad total de materia en el universo debe conservarse.

¿Será este el punto de vista de la UNI, o mas especificamente, de su comisión de admisión? No creo.

En el 1er seminario de la CEPREUNI del presente ciclo, correspondiente al curso de Química (Pregunta 2), se plantea una pregunta también de este tema, y que también ha originado discusión:

PROBLEMA
¿Cuáles de las siguientes opciones no representan materia?
I. Aire.
II. Calor.
III. Arco Iris.
IV. Agua.
V. Luz
VI. El Sol.


A) II y III B) II, III y VI C) II, III y V
D) I, II y III E) III, IV y V

Desde el punto de vista del materialismo dialectico, el aire, el agua y el sol son materia sustancial mientras que el calor y la luz es materia insustancial (energía). El arco iris es un fenómeno asi como lo es el movimiento mecánico y sería el único que no representa materia. Pero upsss . . . No hay clave.

Ergo, esta no es la posición del la CEPREUNI, o de la persona que propuso este problema.

Parece ser que su concepción es que materia en un concepto del que la masa es una de sus propiedades, es decir materia es todo aquello que posee masa inercial. Según este citerio la clave sería la C.

La CEPREUNI considera que materia es todo aquello que posee masa y ocupa un volumen en el espacio (no considera a la luz, y en general toda onda electromagnética, como materia sino como energía) y que la cantidad total de materia y energía del universo permanece constante.


¿Qué es la masa?
¿Se puede convertir energía en materia?

miércoles, 7 de septiembre de 2011

Equilibrio indiferente de un cuerpo sumergido

Un cuerpo cilíndrico, cuya sección transversal se muestra en la figura, se encuentra flotando en equilibrio indiferente en un líquido cuya densidad es el doble que la del cuerpo. ¿Qué condición debe cumplir dicha sección transversal?

RESOLUCION

El matemático judio-polaco Stanislaw Ulam, que participó en el desarrollo de la 1ra bomba atómica (proyecto Manhattan), planteó una pregunta en la decada de 1930 que se hizo muy famosa en los círculos matemáticos de todo el mundo: ¿Es la esfera el único sólido de densidad uniforme que flotará en el agua en cualquier posición?

¿No puede haber otro solido que cumpla esta condición?

La respuesta a esta pregunta, en el caso general de un cuerpo sólido, sigue siendo cuestión abierta, pero una versión bidimensional del mismo si tiene una solución.

Para poder imaginar una versión en dos dimensiones lo mejor es pensar que el cuerpo en cuestión tiene forma cilindrica. Un cilindro circular permanece flotando en equilibrio en cualquier posición que se le deje, siempre y cuando restrinjamos las posiciones a una sección transversal plana. En estas condiciones está claro que un círculo permanece en equilibrio sea cual sea la posición en que lo dejemos.

Pero un círculo es una figura que tiene, entre otras, una propiedad interesante. Posee un punto P, que coincide con el centro de la circunferencia, tal que cualquier segmento que pase por él divide, tanto a su perímetro como a su área, en dos partes iguales.

Pero solo los círculos tienen esta propiedad?

En 1921, el matemático austriaco K. Zindler (1866-1934) planteó el siguiente problema: Encontrar una curva convexa, aparte de la circunferencia, con la propiedad que toda cuerda bisectriz a esta curva, esto es la cuerda que divide a la región en dos superficies de igual área, tenga también la misma longitud.

Tal grupo de curvas que cumple esta condición es llamado ahora curvas de Zindler. Por ejemplo la siguiente figura posee un punto P tal que cualquier segmento que pase por él divide al perímetro y al área en partes iguales.

En un post anterior (equilibrio de cuerpos sumergidos en líquidos) comentamos que si un cuerpo parcialmente sumergido se encuentra en equilibrio indiferente su metacentro debe coincidir con su centro de gravedad. De esto se deduce que, para que se cumpla esta condición, la recta vertical que pasa por el centro de flotación CF debe pasar por su centro de gravedad CG.

Como cualquier segmento que pase por el centro de gravedad CG de este tipo de curvas divide a la región en dos partes de igual área, y por tanto igual peso, y cuando la densidad del cuerpo es la mitad de la del líquido este se encuentra sumergido exactamente hasta su mitad (el punto CG se encontrará en todo momento en la línea de flotación) en cualquier posición que se encuentre el cuerpo el centro de flotación CF y el centro de gravedad CG se encontrarán en la misma vertical.

Como el centro de gravedad CG de este tipo de curvas (punto P) y cuando la densidad del cuerpo es la mitad . . .

CONTINUARA