Tiempo máximo que un cuerpo permanece en el aire

Hace algunos meses publiqué un post en acerca de máximos y mínimos y deje este problema propuesto. Hoy, por una iniciativa del Prof. Renato Brito (Brasil) que me hizo ver su resolución (correcta), les presento la mía.

PROBLEMA
Una partícula es lanzada sucesivas veces desde un punto fijo A de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O, con diferentes velocidades iniciales pero todas en una misma dirección definida por el ángulo θ. Determinar el tiempo máximo que puede permanecer en el aire antes de chocar con el cilindro. Despreciar toda clase de rozamiento.

Resolución

Analicemos el movimiento parabólico considerándolo como la composición de un movimiento horizontal (MRU) y de un movimiento vertical (MVCL).

Definamos la posición del punto de impacto con la posición del extremo inferior del segmento que pasa por el centro de la circunferencia que forma un ángulo ε con la horizontal.

De la geometría del problema se deduce que el desplazamiento horizontal x = R (cos θ + cos ε) y el desplazamiento vertical y = R (sen θ - sen ε).

Descompongamos la velocidad de lanzamiento vo en componentes rectangulares y analicemos el movimiento horizontal (MRU) y vertical (MVCL).

En el eje x:

En el eje y:

Eliminando v_o de estas ecuaciones (reemplazando la 1ra en la 2da), agrupando términos semejantes y teniendo en cuenta la fórmula del seno de una suma de ángulos, tenemos que:

De esta expresión se deduce que el tiempo t será máximo cuando el ángulo θ + ε sea 90^o, y por tanto:

Este resultado se puede generalizar, esto es, para cualquier posición A en donde se lance la partícula, la trayectoria de tiempo máximo será aquella en la que la dirección de lanzamiento, definido por el ángulo θ, y la de la recta que pasa por el punto de impacto y el centro del cilindro, definido por el ángulo ε, cumpla que: θ + ε sea 90^o.

Una resolución alternativa

Me han enviado desde Brasil una resolución alternativa y elegantisima de este problema que con su permiso paso a publicarlo.

La idea subyacente es analizar el movimiento parabólico descomponiéndolo en dos componentes: una en la dirección del lanzamiento (recta AO) y otra en la dirección perpendicular.

De la figura superior se puede concluir fácilmente que el tiempo que la partícula tarda en chocar será máximo cuando su desplazamiento en la dirección de la componente g cos θ sea máximo, esto es cuando este desplazamiento sea R en módulo.

De aqui se deduce que:

Esto demuestra lo que siempre les digo a mis alumnos: Hay muchas maneras de resolver un problema. Unas mas elegantes que otras.