Velocidad angular de rotación de un triángulo

Hace unos días me propusieron un problema que he modificado para que resulte más interesante.

En los vértices de un triángulo equilatero de lado L se encuentran tres hormigas. Ellas empiezan a moverse simultáneamente con una rapidez constante v de modo tal que la 1ra en todo momento se mueve hacia la 2da, la 2da hacia la 3ra y la 3ra hacia la 1ra. Determinar el tiempo que tardan en encontrarse y la velocidad angular con que gira el triángulo equilátero formado por las hormigas en función del tiempo transcurrido t.

Es fácil darse cuenta que debido a la simetría del problema, y a las condiciones del problema, el movimiento de cada una de las hormigas respecto de cualquiera de las otras dos es equivalente.

Determinemos la velocidad relativa de la hormiga A respecto de B (V_AB). Geométricamente esto se obtiene graficando sus vectores velocidad a partir de un origen común y uniendo el extremo del vector sustraendo con el extremo del vector minuendo (ver figura).

A partir del triángulo vectorial achurado mostrado en la figura se deduce que el módulo de la velocidad relativa de A respecto de B es v√3.

Debido a que en todo momento las hormigas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero, sus velocidades en todo momento forman entre si un ángulo de 120^o. De esto se concluye que el módulo de su velocidad relativa permanece constante y siempre forma un ángulo de 30^o con la línea que une los centros de las hormigas.

Debido a esto el módulo de la velocidad de acercamiento de cada hormiga respecto de otra (v_r = v√3 cos 30^o= 3v / 2) y el de su velocidad transversal (v_θ = v√3 sen 30^o= v√3 / 2) permanecen constantes en todo momento.

De aqui se deduce que el tiempo que las hormigas se encuentran es:

La velocidad angular de rotación ω se determina relacionando el módulo de la velocidad en la dirección transversal v_θ con la distancia r que los separa transcurrido un tiempo t (L - V_r t).