viernes, 11 de mayo de 2012

Problema de Geometría

Gracias al invalorable aporte de nuestro amigo Erico Palacios de Matematicas y Olimpiadas, esta es la resolución del problema geometrico propuesto por Milton Donaire a través del blog SobreGeometrias.
PROBLEMA
Si la medida del arco ST es de 100o, calcule la medida del ángulo x. P, Q y B son puntos de tangencia y S, M y N son colineales.

Antes de resolver este problema, demostremos un teorema:.
Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q1 y R1 y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q2 y R2 sobre la otra de modo que Q2 se encuentra en la prolongación de Q1P y R2 en la prolongación R1P, se cumple que el segmento R2Q2 es paralelo a AB.


DEMOSTRACION
Tracemos el segmento Q1R1. Teniendo en cuenta las definiciones de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia menor se verifica que las medidas de los ángulos R1Q1P y R1PB son iguales. Por otro lado, teniendo en cuenta la definición de ángulo inscrito en la circunferencia mayor se verifica que las medidas de los ángulos R1Q1Q2 y R1R2 Q2 tambien son iguales.

De esto se concluye que el segmento R2Q2 es paralelo al segmento AB y que los arcos AR2 y BQ2 son iguales.

A partir de esto se puede establecer el siguiente corolario:
Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q1 y R1 y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q2 y R2 sobre la otra de modo que R2 se encuentra en la prolongación de R1P y R2Q2 es paralelo a AB, se cumple que el punto Q2 se encuentra contenida en la prolongación del segmento Q1P.

A partir de esto resolvamos el problema en mensión.

Primeramente, como los segmentos QB y QP son tangentes a la circunferencia, sus longitudes deben ser iguales y por tanto el triángulo BQP es isósceles. 

Luego, de acuerdo al teorema demostrado anteriormente, el segmento ST es paralelo al segmento AQ. 

Luego, de acuerdo al corolario consecuencia del teorema, como el segmento AQ, que es tangente a la circunferencia menor, y el segmento ST son paralelos, los puntos M, Q y T son colineales. 

Finalmente, aplicando la definición de ángulo inscrito a la circunferencia mayor se verifica que la medida del ángulo SMT es de 50o, aplicando la definición de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia más pequeña se verifica que las medidas de los ángulos NMQ y NQP son de 50o.

De esto se deduce que el ángulo x es de 65o.

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