Hace poco me consultaron este problema que fue propuesto recientemente en un curso de Física I en la universidad nacional de ingeniería UNI, Lima-Perú, que bien merece compartirlo con ustedes.
Un gato G que se mueve con una rapidez constante v1 se mueve en todo momento en la dirección en donde se encuentra un ratón R, que a su vez se mueve rectilíneamente con una rapidez constante v2. Si en el instante que sus velocidades son mútuamente perpendiculares la distancia que los separa es d, determinar la aceleración centrípeta del gato en ese instante.
Antes que nada debemos señalar que debido a que la rapidez del gato no cambia, su aceleración es perpendicular a su velocidad en cada instante (centrípeta).
Para resolver el problema, analicemos el movimiento del gato y del ratón en un intervalo de tiempo t muy pequeño medido desde el instante en que sus velocidades son mútuamente perpendiculares.
En dicho intervalo de tiempo el gato se habrá desplazado una distancia v1t muy pequeña y la dirección de la velocidad del gato habrá cambiado en un ángulo θ muy pequeño (ver figura).
De la figura se aprecia que el lado v1t es igual al producto de d por la tangente del ángulo θ, y, debido a que θ es un ángulo muy pequeño, esto es igual al ángulo θ expresado en radianes:
En la gráfica siguiente se aprecia los vectores velocidad inicial y final del gato en dicho intervalo de tiempo y el vector cambio de velocidad ΔV.
La aceleración de un móvil en un instante de tiempo (aceleración instantánea) se define como la razón de cambio del vector cambio de velocidad ΔV, en un intervalo de tiempo t muy pequeño posterior a dicho instante, respecto de dicho intervalo de tiempo t. Matemáticamente:
En un triángulo isósceles (ver figura superior), cuando el ángulo desigual θ es pequeño se cumple que la longitud del lado desigual es aproximadamente la del lado igual por el seno del ángulo θ, que a su vez es igual al ángulo θ expresado en radianes.
De estas ecuaciones se deduce que:
A continuación les propongo una variante de este problema.
Tres móviles se mueven con una rapidez constante v en un plano de modo tal que en todo momento se encuentran situados en los vértices de un triángulo equilátero y el 1ro se mueve hacia el 2do, el 2do hacia el 3ro y el 3ro hacia el 1ro. Determinar el módulo de la aceleración centrípeta de una de ellas en el instante que el lado del triángulo es L.
La respuesta de este problema es √3 v2/2L. Inténtalo!
Otro problema relacionado que también resulta interesante es el siguiente./p>
Un móvil A se mueve con una rapidez constante v dirigiéndose siempre hacia otro móvil B que se mueve rectilíneamente con una rapidez 2v. Determinar el módulo de su velocidad relativa en el instante que la distancia que las separa es mínima.
La respuesta de este problema es v√3. Inténtalo!
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